3.1 Figures planes i propietats geomètriques

Teoria

La geometria plana de la CLOM no demana definicions memoritzades, sinó raonar amb propietats: si una figura té aquesta característica, què se’n pot deduir? Aquesta unitat recull les eines que es fan servir més: angles, triangles, quadrilàters, polígons i cercles. Sempre convé fer un croquis, escriure-hi les dades i preguntar-se si la propietat que vols usar és certa per a qualsevol figura de la família o només per a algunes.

Punt, segment, recta, semirecta i angles

Un segment té dos extrems i una longitud; una semirecta té un origen i no acaba; una recta no té extrems. Un angle és l’obertura entre dues semirectes d’origen comú: agut (menys de $90^\circ$), recte ($90^\circ$), obtús (entre $90^\circ$ i $180^\circ$) i pla ($180^\circ$). Dos angles són complementaris si sumen $90^\circ$ i suplementaris si sumen $180^\circ$. Els angles oposats pel vèrtex són iguals.

Comprovació: si dos angles formen una línia recta, sumen $180^\circ$.

Paral·lelisme, perpendicularitat i distàncies

Dues rectes són paral·leles si no es tallen mai i perpendiculars si formen angles de $90^\circ$. La distància d’un punt a una recta és la longitud del segment perpendicular des del punt.

Quan una transversal talla dues paral·leles, només hi ha dues mesures: $\alpha$ i $180^\circ-\alpha$. Els angles corresponents (a la mateixa posició a cada recta) i els alterns interns són iguals; els que són a un mateix costat de la transversal, entre les rectes, són suplementaris.

Comprovació: si els angles no són iguals ni suplementaris, les rectes no són paral·leles.

Triangles: classificació, angles i propietats bàsiques

Segons els costats, un triangle és equilàter (tres iguals), isòsceles (dos iguals) o escalè (cap d’igual). Segons els angles, és acutangle (tots aguts), rectangle (un de $90^\circ$) o obtusangle (un d’obtús). Els tres angles sumen sempre $180^\circ$: si en coneixes dos, $50^\circ$ i $60^\circ$, el tercer és $70^\circ$. En un isòsceles, els angles oposats als costats iguals són iguals. A més, existeix un triangle només si cada costat és menor que la suma dels altres dos: amb $2$, $3$ i $7$ no es pot fer, perquè $2+3<7$.

Comprovació: abans de calcular amb tres longituds, verifica la desigualtat triangular.

Quadrilàters: quadrat, rectangle, paral·lelogram, rombe i trapezi

Un paral·lelogram té els costats oposats paral·lels i iguals, i les diagonals es tallen pel punt mitjà. El rectangle és un paral·lelogram amb quatre angles rectes; les seves diagonals són iguals. El rombe és un paral·lelogram amb quatre costats iguals; les diagonals són perpendiculars (però no iguals). El quadrat té totes dues coses. El trapezi té només dos costats paral·lels. Les famílies s’inclouen: tot quadrat és rombe, rectangle i paral·lelogram, però no al revés.

Comprovació: un paral·lelogram qualsevol no té les diagonals iguals.

Polígons regulars i irregulars, diagonals i eixos de simetria

Un polígon és regular si té tots els costats i tots els angles iguals. Els angles interiors d’un polígon de $n$ costats sumen $(n-2)\cdot180^\circ$. En un regular, cada angle és $\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$: en un octàgon, $\dfrac{6\cdot180^\circ}{8}=135^\circ$. El nombre de diagonals és $\dfrac{n(n-3)}{2}$: un hexàgon en té $\dfrac{6\cdot3}{2}=9$. Un polígon regular de $n$ costats té $n$ eixos de simetria.

Comprovació: la suma d’angles d’un quadrilàter ha de donar $360^\circ$.

Circumferència i cercle: radi, diàmetre i nombre π

La circumferència és la línia formada pels punts a una distància fixa (el radi $r$) d’un centre; el cercle és la superfície que tanca. El diàmetre és $d=2r$. La longitud de la circumferència és $L=2\pi r=\pi d$, i $\pi\approx3{,}14$ és la raó entre la longitud i el diàmetre. Per a $r=6$ cm, $L=12\pi\approx37{,}7$ cm.

Comprovació: $L$ és una longitud (cm) i no una àrea ($\pi r^2$ és cm²).

Descomposició i recomposició de figures planes

Una figura complexa es pot descompondre en triangles i rectangles, o completar fins a una figura més senzilla. Un triangle tallat per una diagonal d’un rectangle dona dues meitats iguals; un trapezi es pot partir en un rectangle i dos triangles. Descompondre ajuda a trobar angles ($180^\circ$ per triangle) i àrees.

Comprovació: les peces han d’ocupar tota la figura, sense solapar-se.

Interpretació de figures sobre quadrícules i malles de punts

Sobre una quadrícula, les distàncies horitzontals i verticals es compten en unitats; per comparar costats inclinats cal mirar el desplaçament: un costat que avança $1$ i puja $2$ té longitud $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$, diferent de $4$. Un quadrilàter amb dos costats horitzontals iguals i dos costats inclinats iguals i paral·lels és un paral·lelogram, però no un rectangle (no hi ha angles rectes) ni un rombe (els costats no són tots iguals).

Comprovació: comprova les longituds i l’angle abans de donar un nom a la figura.