2.1 Regularitats, patrons i successions

Teoria

Detectar patrons és una de les habilitats que més es repeteix a la CLOM: una fila de taules amb cadires, un mosaic que creix o una taula de valors. El que s’espera de tu no és «veure» el patró, sinó expressar-lo amb una regla, comprovar-lo amb tots els casos coneguts i usar-lo per calcular un terme que no pots dibuixar. Aquesta unitat segueix aquest camí: dibuix, taula, regla verbal i regla general.

Identificació de patrons numèrics i visuals

Un patró és una regla que es compleix en tots els casos que coneixem. Si veus $3, 6, 9, 12$, la regla «suma $3$» funciona en cada pas; si en veus només dos ($3, 6$), poden ser compatibles «suma $3$», «multiplica per $2$» i «suma $3$, després $4$»… És a dir, un sol pas no determina cap regla i dos passos només la fan probable. Abans de generalitzar, comprova la regla amb tots els termes donats.

Comprovació: una regla que falla amb un sol terme conegut no és la regla.

Successions aritmètiques i increments constants

Una successió aritmètica és una llista de nombres on cada terme s’obté sumant a l’anterior un mateix nombre, l’increment (o diferència) $d$. Per a $5, 8, 11, 14, \dots$ l’increment és $3$. El terme del pas $n$ és:

Si es desenvolupa, queda $a_n=dn+(a_1-d)$, de la forma $an+b$. Aquí $a_n=3n+(5-3)=3n+2$. Per comprovar-ho, substitueix $n=1$: $3+2=5$ ✓; $n=4$: $12+2=14$ ✓.

Comprovació: el coeficient de $n$ és l’increment, i el terme independent és el valor que tindria el «pas $0$».

Successions amb diferències no constants i patrons figuratius senzills

Si les diferències entre termes consecutius no són constants, la successió no és aritmètica. Mira les diferències de les diferències. Per a $1, 2, 4, 7, 11$ les diferències són $1, 2, 3, 4$: creixen d’una unitat cada cop. Els quadrats $1, 4, 9, 16$ tenen diferències $3, 5, 7$, i els nombres triangulars $1, 3, 6, 10, 15$ tenen diferències $2, 3, 4, 5$ i fórmula $\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Comprovació: en un patró lineal, la gràfica dels termes és una recta; en els quadrats, no.

Taules de valors i regla de formació

Ordena el patró en una taula pas–valor. Després escriu la regla de dues maneres: la recurrent («cada terme és l’anterior més $3$»), útil per continuar, i la general ($a_n=3n+2$), útil per saltar fins a qualsevol pas.

La regla verbal és «el triple del pas, més dos».

Comprovació: la regla general ha de reproduir tota la taula, incloent-hi el primer pas.

Obtenció d’un terme futur a partir del patró

Per al terme $20$ de $5, 8, 11, 14, \dots$, no cal escriure vint termes: $a_{20}=3\cdot20+2=62$. El mateix amb la fórmula de partida: $5+19\cdot3=62$.

Comprovació: un terme llunyà ha de ser coherent amb l’ordre de magnitud: $20$ passos amb increment $3$ afegeixen uns $60$ al primer terme.

Obtenció del número de pas a partir del nombre de peces

És el problema invers: quin pas té $65$ peces? S’iguala la regla al valor i s’aïlla $n$:

Si el resultat no és un enter, aquell valor no pertany a la successió. Per exemple, $3n+2=64$ dona $n=\dfrac{62}{3}$, que no és un pas possible.

Comprovació: substitueix $n$ a la regla i verifica que torna el valor.

Patrons amb quadrats, cubs, mosaics, taules i construccions

En les figures, la regla neix de comptar bé. Dues estratègies habituals són comptar per blocs repetits i comptar el total i restar els elements compartits.

Cada taula té una cadira a dalt i una a baix, i a cada extrem de la fila hi ha una cadira més. Per a $n$ taules són $2n$ cadires als costats llargs i $2$ als extrems: $2n+2$. Una altra manera de comptar: una taula sola en té $4$ i cada taula afegida en suma $2$, o sigui $4+2(n-1)=2n+2$. Dos camins que coincideixen confirmen la fórmula.

Un altre cas és un mosaic amb forma d’L que va creixent:

Cada figura té una columna de $n+1$ quadrats i una fila de $n$ més, de manera que el quadrat de la cantonada no es compta dues vegades: $(n+1)+n=2n+1$.

Comparació de dos patrons i comprovació de coincidències

Dos patrons poden tenir el mateix valor al mateix pas: s’igualen les regles. Si $A$ és $3n+2$ i $B$ és $5n-4$, $3n+2=5n-4$ dona $6=2n$, és a dir $n=3$, i el valor comú és $11$.

També poden compartir valors en passos diferents: $5, 8, 11, 14, 17, \dots$ i $2, 7, 12, 17, \dots$ coincideixen en $17$, $32$, $47$… (cada $15$, perquè $15$ és el mínim comú múltiple dels increments $3$ i $5$).

Comprovació: abans de concloure, substitueix a les dues regles.