2.3 Funcions, gràfiques i variació

Teoria

Les gràfiques són una de les maneres més compactes de descriure com varia una quantitat respecte d’una altra: temps i distància, consum i cost, temperatura i hora. A la CLOM es demana llegir-les amb precisió, relacionar-les amb una taula o una fórmula, i desconfiar de les que sembla que diuen una cosa i en diuen una altra. La rutina és sempre la mateixa: eixos, unitats, escala, punts clau i, només després, interpretació.

Lectura de taules i gràfiques de dues variables

Una taula i una gràfica són dues maneres de mostrar parells $(x,y)$. Cada punt diu: «per a aquest valor de $x$, la variable $y$ val tant». Si la gràfica no té un punt exacte, es pot interpolar de manera raonable entre dos punts coneguts, sempre que la tendència sigui clara.

Per exemple, si la gràfica d’una cassola mostra $20$ °C al minut $0$ i $60$ °C al minut $10$, entre aquests dos punts es pot estimar quant hi havia al minut $5$ (uns $40$ °C), però no es pot assegurar què passarà al minut $30$: fora del rang de dades, qualsevol valor és una extrapolació, i les extrapolacions són més arriscades.

Comprovació: a cada punt llegit, escriu les dues coordenades amb la seva unitat.

Eixos, unitats, coordenades i valors d’una gràfica

L’eix horitzontal sol representar la variable que tries o que passa (temps, quantitat) i el vertical, la que en depèn (distància, cost). Comprova què val cada divisió: una quadrícula pot marcar cada $5$, cada $10$ o cada $0{,}5$. I mira on comença l’eix: si no comença a zero, les diferències visuals no són les reals.

Comprovació: abans de llegir un valor, anota què val cada quadre.

Proporcionalitat directa i representació gràfica

Una relació és directament proporcional si la gràfica és una recta que passa per l’origen $(0,0)$: el quocient $y/x$ és constant. Si la recta talla l’eix vertical a un valor diferent de zero, hi ha una part fixa i la relació no és proporcional, tot i ser lineal.

Comprovació: duplica $x$; si $y$ no es duplica, no és proporcional.

Gràfiques lineals: valor inicial i ritme de canvi

Una recta té forma $y=mx+b$. El valor inicial $b$ és $y$ quan $x=0$ (on talla l’eix vertical). El ritme de canvi (pendent) $m$ és quant varia $y$ per cada unitat de $x$: $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Per exemple, de $(0,5)$ a $(300,35)$ el pendent és $\dfrac{35-5}{300-0}=0{,}10$ €/min.

Comprovació: el pendent s’expressa amb unitats («euros per minut»).

Interpretació de trams creixents, decreixents i constants

Un tram és creixent si puja cap a la dreta (el valor augmenta), decreixent si baixa i constant si és horitzontal. Un tram constant en una gràfica de distància vol dir que el mòbil és aturat; en una de velocitat, vol dir velocitat constant. Cada gràfica té el seu significat: llegeix sempre què hi ha a l’eix vertical.

Comprovació: descriu cada tram amb una frase que inclogui una unitat.

Lectura de pendents com a velocitat o variació per unitat de temps

En una gràfica distància–temps, el pendent d’un tram és la velocitat. Un tram que va de $(0,0)$ a $(10,2)$ (minuts, quilòmetres) té $\dfrac{2}{10}=0{,}2$ km/min, és a dir, $0{,}2\cdot60=12$ km/h. Un pendent negatiu vol dir que el valor disminueix.

Comprovació: passa els minuts a hores abans de donar la velocitat en km/h.

Construcció d’una gràfica a partir d’un relat o d’una taula

Llegeix el relat i escriu els punts clau $(t,d)$: on comença, on canvia el ritme i on acaba. Uneix-los amb segments. «Camina durant $10$ minuts fins a $2$ km, s’atura $10$ minuts i després en fa $3$ en $10$ minuts» dona els punts $(0,0)$, $(10,2)$, $(20,2)$ i $(30,5)$.

Comprovació: cada segment ha de reproduir una frase del relat.

Comparació de tarifes i models segons el punt d’encreuament

Dues tarifes lineals es comparen pel punt on es creuen. Sigui el pla A, $5$ € més $0{,}10$ €/min, i el pla B, $15$ € més $0{,}05$ €/min.

Igualant $5+0{,}10x=15+0{,}05x$ surt $x=200$ min i $25$ €. Abans, A és més barat; després, B.

Comprovació: tria un valor de cada costat del punt i verifica la comparació.

Interpretació de fórmules de conversió, com Celsius–Fahrenheit

$F=1{,}8\,C+32$ és una funció lineal: el valor inicial és $32$ °F (el punt on $C=0$) i el pendent és $1{,}8$ °F per cada °C. Amb $C=100$: $F=212$. No és proporcional perquè no passa per l’origen.

Comprovació: $C=-40$ dona $F=-40$, el punt on les dues escales coincideixen.

Detecció d’afirmacions no justificades per una gràfica

Abans de creure una afirmació sobre una gràfica, pregunta’t: l’eix comença a zero? Les unitats són clares? Una recta ascendent no demostra que el ritme augmenti; només que el valor augmenta. Una correlació visual no demostra una causa.

Comprovació: calcula la variació real: de $98$ a $102$ és $+4{,}1\,\%$.