3.4 Transformacions, orientació i escala

Teoria

L’orientació i l’escala són eines que fas servir cada dia amb mapes i plànols, i a la CLOM es demanen en problemes de rutes, simetries i dibuixos a escala. El fil conductor és que moure o canviar de mida una figura té regles precises: unes transformacions conserven la forma i la mida, i d’altres només la forma. Treballa sempre sobre una quadrícula o amb un croquis que et permeti comprovar.

Coordenades cartesianes al pla

Un punt es descriu amb un parell $(x,y)$: l’abscissa $x$ indica el desplaçament horitzontal i l’ordenada $y$ el vertical, tots dos respecte de l’origen $(0,0)$. Els eixos divideixen el pla en quatre quadrants: segons el signe de $x$ i de $y$, un punt cau en un o altre. La distància entre dos punts amb la mateixa $x$ és la diferència de les $y$; en general, amb Pitàgores: entre $A(1,2)$ i $B(4,6)$, $\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Comprovació: escriu primer la $x$ i després la $y$.

Lectura i ubicació en mapes i quadrícules

En un mapa, la quadrícula serveix per localitzar («casella C4») i per mesurar. Com en els eixos cartesians, converteix cada casella en un parell de números abans de calcular distàncies. Una llegenda diu què significa cada símbol i una escala relaciona el dibuix amb la realitat.

Comprovació: mira la llegenda i les unitats abans d’usar el mapa.

Orientació, trajectes, direccions i recorreguts

Els punts cardinals (nord, est, sud, oest) són referències fixes; «dreta» i «esquerra», en canvi, depenen de cap on mires. Per descriure una ruta amb girs, apunta la direcció després de cada gir. Si vas cap al nord i gires a la dreta, vas cap a l’est; si tornes a girar a la dreta, vas cap al sud. La distància entre l’inici i el final no és la suma dels trams: es calcula amb les coordenades o amb Pitàgores. Per exemple, $8$ km a l’est i $6$ km al nord deixen a $\sqrt{64+36}=10$ km de l’inici.

Comprovació: dibuixa el recorregut sobre una quadrícula.

Simetria axial i eixos de simetria

Una figura té simetria axial si es pot plegar per una recta (eix) i les dues meitats coincideixen. Un rectangle té $2$ eixos, un quadrat $4$, un triangle equilàter $3$, un rombe $2$ i un paral·lelogram qualsevol cap. El simètric d’un punt respecte d’un eix és a la mateixa distància de l’eix, a l’altra banda, sobre una perpendicular.

Comprovació: la recta de l’eix passa pel punt mitjà de cada segment que uneix un punt amb el seu simètric.

Reflexió, rotació i translació de figures

Hi ha tres moviments rígids. La reflexió retorna la imatge com al mirall: respecte de l’eix $y$, $(x,y)\to(-x,y)$; respecte de l’eix $x$, $(x,y)\to(x,-y)$. La rotació gira la figura al voltant d’un punt: una rotació de $90^\circ$ en sentit horari al voltant de l’origen fa $(x,y)\to(y,-x)$. La translació desplaça tots els punts el mateix vector: de $(a,b)$, $(x,y)\to(x+a,y+b)$.

La diferència visible és que la reflexió inverteix l’orientació (com una mà dreta en el mirall), mentre que la rotació i la translació la mantenen.

Comprovació: compara les distàncies entre vèrtexs abans i després: han de ser iguals.

Identificació de figures equivalents o congruents

Dues figures són congruents si tenen la mateixa forma i la mateixa mida: una es pot superposar sobre l’altra amb moviments rígids. Dues figures són equivalents si tenen la mateixa àrea, encara que no la mateixa forma (un rectangle de $4\times3$ i un de $6\times2$ tenen àrea $12$).

Comprovació: congruents implica equivalents, però no al revés.

Semblança i ampliacions o reduccions a escala

Dues figures són semblants si tenen la mateixa forma i els costats proporcionals. El factor d’escala $k$ multiplica totes les longituds (costats, alçades), però no els angles. Un rectangle de $3\times2$ ampliat amb $k=2$ és de $6\times4$, no de $6\times2$. Les àrees es multipliquen per $k^2$: de $6$ a $24$.

Comprovació: aplicar el factor a una sola dimensió deforma la figura.

Escales numèriques i gràfiques de mapes i plànols

L’escala $1:n$ vol dir que $1$ unitat al plànol són $n$ unitats reals. A l’escala $1:50\,000$, $1$ cm representa $50\,000$ cm $=500$ m. Una escala gràfica és un segment graduat que mostra directament la distància real; si el mapa es reprodueix a una altra mida, l’escala gràfica s’escala amb ell, i la numèrica, no.

Comprovació: la distància real és sempre més gran que la del mapa si l’escala és de reducció.

Desenvolupaments de cossos i orientació espacial

Per orientar-te amb un desenvolupament, imagina quines cares queden juntes en plegar-lo: dues cares veïnes al plànol comparteixen aresta, però pot ser que dues cares «llunyanes» al dibuix quedin adjacents al cos. Marca amb una lletra cada cara abans de plegar-la mentalment.

Comprovació: un desenvolupament d’un cub ha de tenir sis quadrats, i cada quadrat ha de tocar-ne com a màxim quatre per les arestes.