1.4 Percentatges i variacions

Teoria

Els percentatges són el tipus de pregunta més habitual en un contexte quotidià: descomptes, increments, enquestes. Sense calculadora, la clau és saber sobre quin nombre es calcula cada percentatge. Al model 2026 apareixia el càlcul del descompte d’un abonament de transport respecte de bitllets senzills, i al model 2025, una afirmació de millora superior al 10 % que calia comprovar.

Percentatge com a proporció sobre cent

El percentatge $p\,\%$ és la fracció $\dfrac{p}{100}$. Per exemple, $35\,\%=\dfrac{35}{100}=0{,}35$.

Comprovació: el $100\,\%$ és el total, el $50\,\%$ és la meitat i el $25\,\%$ és un quart.

Càlcul d’un percentatge d’una quantitat

Es multiplica la quantitat per $\dfrac{p}{100}$. Sense calculadora, es descompon: el $10\,\%$ és dividir entre 10, el $1\,\%$ entre 100, el $50\,\%$ és la meitat.

Comprovació: el $15\,\%$ ha de ser una mica més que un desè ($36$) i menys que un quart ($90$), i $54$ hi encaixa.

Determinació del total a partir d’una part percentual

Si el $p\,\%$ del total és $A$, el total és $A:\dfrac{p}{100}$. Exemple: si el $25\,\%$ d’un total són $30$, com que $25\,\%=\dfrac14$, el total és $30\cdot 4=120$.

Comprovació: el $25\,\%$ de $120$ són $30$. Error freqüent: calcular el $25\,\%$ de $30$, que no té res a veure amb el total.

Augments i reduccions percentuals

Un augment del $p\,\%$ es resol multiplicant pel factor $1+\dfrac{p}{100}$; una reducció, pel factor $1-\dfrac{p}{100}$.

Exemple: $250$ € amb un augment del $12\,\%$ són $250\cdot1{,}12=280$ €. Comprovació: l’augment és de $30$ € ($12\,\%$ de $250$) i $250+30=280$.

Descomptes, promocions, ofertes i comparació de preus

Un descompte del $d\,\%$ dona un preu final de $\text{preu}\cdot\left(1-\dfrac{d}{100}\right)$. Per comparar ofertes, es calcula el preu final de cada una. Un «2x1» són dos productes pel preu d’un: un $50\,\%$ de descompte si en compres dos. Una «segona unitat al $50\,\%$» són $25\,\%$ de descompte sobre el parell.

Comprovació: un descompte sempre fa que el preu final sigui menor que l’original.

Variacions absolutes i relatives entre dos valors

La variació absoluta és $\text{final}-\text{inicial}$. La variació relativa és la variació absoluta dividida pel valor inicial, i s’expressa en percentatge.

Exemple: de $40$ a $46$, la variació absoluta és $+6$ i la relativa és $\dfrac{6}{40}=0{,}15=15\,\%$. Per comprovar una afirmació del tipus «ha millorat més d’un $10\,\%$», calcula el $10\,\%$ del valor inicial i compara-ho amb la millora.

Exemple: de $1{,}20$ m a $1{,}30$ m, la millora és $0{,}10$ m i el $10\,\%$ de $1{,}20$ és $0{,}12$ m, per tant no supera el $10\,\%$ (és el $8{,}3\,\%$).

Percentatges en gràfics, enquestes i dades de població

En una enquesta, el percentatge és $\dfrac{\text{part}}{\text{total d'enquestats}}\cdot100$. Si $50$ de $200$ persones prefereixen anar a peu, són $\dfrac{50}{200}=0{,}25=25\,\%$.

Comprovació: la suma de tots els percentatges d’una enquesta de resposta única ha de ser el $100\,\%$. La base és sempre el total d’enquestats, no el nombre més gran del gràfic.

Percentatges successius i variació acumulada

Els canvis successius no se sumen: se multipliquen els factors. Un descompte del $20\,\%$ seguit d’un augment del $20\,\%$ dona $0{,}8\cdot1{,}2=0{,}96$: un $4\,\%$ menys que al començament.

Raó: el segon percentatge s’aplica sobre una base diferent ($80$, no $100$).

Comparació de percentatges amb bases diferents

Per comparar quantitats que provenen de totals diferents, es converteix a percentatge. Entre $9$ de $30$ i $12$ de $50$: $\dfrac{9}{30}=30\,\%$ i $\dfrac{12}{50}=24\,\%$. El primer cas és proporcionalment més gran, encara que $12>9$.

Comprovació: compara sempre amb la mateixa base (cent). Comparar $9$ i $12$ sense mirar el total és l’error més habitual.