5.1 Estratègies de resolució i justificació

Teoria

Un problema de la CLOM no es valora només per la resposta: a la secció 2 es puntua el procés. Saber matemàtiques no és suficient si no se sap explicar-les. Aquesta unitat proposa una rutina que serveix per a qualsevol problema i, sobretot, ensenya a escriure’n la justificació d’una manera que una persona que corregeixi pugui seguir sense haver d’endevinar res.

Comprendre la pregunta i seleccionar les dades útils

Llegeix l’enunciat dues vegades. Subratlla la pregunta i els nombres amb la seva unitat. Alguns enunciats porten dades que no calen: en «un tren surt a les $9{:}15$ i arriba a les $11{:}45$, té $8$ vagons i l’han agafat $380$ persones; quant dura el viatge?», només calen les dues hores. Reescriu la pregunta amb les teves paraules.

Comprovació: pots explicar el problema sense mirar el text?

Fer dibuixos, esquemes, taules i representacions auxiliars

Un croquis fa visibles les relacions. Una taula ordena els casos, un diagrama mostra parts i totals, una recta numèrica ajuda amb temps i diferències. Escriu al dibuix les mides amb unitats.

Comprovació: totes les dades de l’enunciat són al dibuix.

Separar problemes llargs en passos curts

Divideix en subproblemes i dona’ls un nom: «cost de les entrades», «descompte», «total». Cada pas ha de tenir una operació i un resultat amb unitat. Així un error es localitza i no s’arrossega.

Comprovació: cada pas utilitza només dades de l’enunciat o resultats dels passos anteriors.

Buscar regularitats i considerar casos simples

Si no saps per on començar, prova amb casos més petits (una taula, dues taules) i busca el patró. Per a «quantes diagonals té un polígon de $n$ costats», dibuixa el triangle ($0$), el quadrat ($2$), el pentàgon ($5$) i observa com creix el nombre.

Comprovació: la regla que trobis ha de reproduir tots els casos simples.

Estimar l’ordre de magnitud abans de calcular

Arrodoneix per fer una estimació ràpida: $198\times203\approx200\times200=40\,000$. Si el càlcul exacte surt $4\,019$ o $400\,194$, hi ha un error d’ordre de magnitud. L’estimació és un filtre ràpid contra errades de coma o de zeros.

Comprovació: el resultat exacte ha de ser pròxim a l’estimat.

Triar l’operació o model que representa la situació

Pregunta’t què fa la situació: s’afegeix (suma), es compara (resta), es repeteix (producte), es reparteix (divisió), es mou proporcionalment (factor) o té una part fixa i una part variable (equació lineal). Justifica l’elecció en una frase: «Calen caixes de $12$ per a $150$ ampolles: es reparteix $150:12$».

Comprovació: l’operació triada té sentit en el context, no només en els números.

Comprovar unitats, restriccions i sentit del resultat

Una operació correcta pot donar un resultat impossible: $150:12=12{,}5$ caixes no existeix; calen $13$. Comprova unitats (m, m², km/h), restriccions (enters, positius, valors màxims) i ordre de magnitud. Escriu una frase final: «Calen $13$ caixes».

Comprovació: la resposta final és una frase amb unitats i té sentit en el context.

Comparar dues solucions i justificar quina és millor

Un mateix problema es pot resoldre de maneres diferents. Compara-les segons la claredat, la eficiència i la possibilitat d’error. Una solució per fórmula és ràpida; una per llistat és més fàcil de comprovar. Totes dues són vàlides si cada pas és coherent.

Comprovació: les dues solucions donen el mateix resultat.

Explicar per escrit un procediment i argumentar respostes V/F

Una bona justificació escrita té quatre parts: què calcules, per quina operació o propietat, el càlcul amb unitats i la conclusió. Per a cert o fals, cal calcular o donar un contraexemple: «Si un rectangle té perímetre $20$, l’àrea és $25$» és fals, perquè un rectangle de $6\times4$ té perímetre $20$ i àrea $24$. Un exemple que compleix l’afirmació no la demostra.

Una frase com «he fet $150:12$» no explica res; una frase com «reparteixo les $150$ ampolles en caixes de $12$, per tant divideixo $150:12=12{,}5$; com que les caixes són senceres, en calen $13$» sí que ho fa. Fixa’t que no cal escriure molt: cal escriure el que importa, en l’ordre en què s’ha pensat. Si dubtes, imagina que algú ha de corregir la teva resposta sense l’enunciat: ha d’entendre què calcules, per què i què en conclous. Això val tant per a un càlcul de tres línies com per a un problema llarg.

Comprovació: algú que no ha fet el problema pot entendre la teva explicació?

Problemes d’optimització i elecció entre alternatives quotidianes

Quan cal triar entre alternatives (dues tarifes, dos camins, dues ofertes), calcula cada alternativa per als casos que importen i compara-les. Si depèn d’una variable (hores, quilòmetres), troba el punt d’igualació i digues per a quins valors convé cada una.

Comprovació: prova una opció a cada costat del punt d’igualació.