2.2 Expressions, fórmules i equacions

Teoria

Una gran part dels problemes de la CLOM es resolen igual: dir en llenguatge matemàtic el que diu l’enunciat, resoldre i tornar a la situació. L’àlgebra d’aquesta unitat és la mínima: una variable, relacions lineals i el màxim d’esquemes possible.

Traducció d’un enunciat a una expressió numèrica o algebraica

Escriu què representa cada nombre i quina operació relaciona les quantitats. «El triple d’un nombre més cinc» és $3x+5$. «Cinc menys que el doble d’un nombre» és $2x-5$, i no $5-2x$: «menys que» col·loca el $5$ al darrere. Els parèntesis són necessaris quan una operació afecta una suma: «el doble de la suma d’un nombre i $3$» és $2(x+3)$.

Comprovació: tria un valor de prova ($x=10$) i verifica amb paraules que l’expressió dona el mateix.

Incògnites, variables i dependència entre quantitats

Una variable és una quantitat que pot canviar; una incògnita és un valor que cal trobar. Si una entrada costa $5$ € i cada activitat afegeix $2$ €, el cost $C$ depèn del nombre d’activitats $n$: $C=5+2n$. Aquí $n$ és la variable independent (la tries) i $C$ la dependent (en resulta).

Una errada habitual és definir la incògnita de manera ambigua («$x$ és el preu»), sense dir si es tracta del preu d’una unitat o del preu total, i després barrejar-ho tot en l’equació. Escriu sempre una frase completa: «$x$ = preu d’un quilo, en euros». Si el problema té dues quantitats relacionades, exprimeix la segona en funció de la primera abans de plantejar la igualtat.

Comprovació: cada símbol ha de tenir una unitat o un significat clar («$n$ = nombre d’activitats»).

Expressions algebraiques senzilles i substitució de valors

Substituir és escriure un nombre en lloc de la lletra, respectant la jerarquia. Amb $x=-4$: $3x-2(x+1)=3\cdot(-4)-2\cdot(-3)=-12+6=-6$. Els nombres negatius entren entre parèntesis per no perdre’n el signe.

Comprovació: fes primer els parèntesis, després els productes i, al final, les sumes i restes.

Equacions de primer grau en problemes quotidians

Una equació és una igualtat que només es compleix per a alguns valors. Imagina una balança: el que fas a un plat, ho has de fer a l’altre.

Per resoldre $3x+5=20$: resta $5$ als dos costats ($3x=15$) i divideix entre $3$ ($x=5$). Si la incògnita és als dos costats, agrupa-la: $5x-7=2x+11$ dona $3x=18$ i $x=6$. Amb parèntesis, desenvolupa primer: $3(x-2)+5=20$ dona $3x-6+5=20$, o bé $3(x-2)=15$, $x-2=5$, $x=7$.

Comprovació: substitueix el resultat a l’equació original.

Obtenció d’un valor desconegut a partir d’una mitjana o d’una proporció

Si la mitjana de quatre notes és $7$, la suma ha de ser $4\cdot7=28$. Amb tres notes ($6$, $8$ i $5$), la quarta és $28-19=9$. Amb una proporció: si $4$ kg costen $10$ €, quants quilos es poden comprar amb $25$ €? Se sap que els quilos i els euros són proporcionals, per tant $\dfrac{x}{25}=\dfrac{4}{10}$, i d’aquí $x=\dfrac{25\cdot4}{10}=10$ kg. També es pot fer pel valor unitari: $10:4=2{,}5$ €/kg i $25:2{,}5=10$ kg. Quan una incògnita és a un denominador, multiplica els dos costats per aquest denominador per fer-lo desaparèixer.

Comprovació: la mitjana de les quatre notes finals ha de tornar a ser $7$.

Interpretació de fórmules donades a l’enunciat

Una fórmula és una regla que relaciona magnituds amb unitats. Si $F=1{,}8\cdot C+32$ passa de graus Celsius a Fahrenheit, amb $C=25$ s’obté $F=1{,}8\cdot25+32=77$ °F. El $1{,}8$ és «quant augmenta $F$ per cada grau $C$» i el $32$ és el valor de $F$ quan $C=0$.

Comprovació: la fórmula dona el valor conegut: $C=0\to32$ °F.

Aïllament de variables en relacions senzilles (suport)

Aïllar és desfer operacions en ordre invers. De $d=v\cdot t$ s’obté $t=\dfrac{d}{v}$. De $F=1{,}8C+32$: $F-32=1{,}8C$ i $C=\dfrac{F-32}{1{,}8}$. Per $F=95$: $C=\dfrac{63}{1{,}8}=35$ °C.

Comprovació: torna a substituir al revés.

Comprovació del resultat dins de la situació original

Una equació pot donar un valor correcte matemàticament i impossible al context: un nombre negatiu de persones, $4{,}5$ cotxes, o unes hores que superen les del dia. Sempre has de dir «$x=6$ activitats» i comprovar que la restricció del problema es compleix.