4.2 Mesures estadístiques i interpretació

Teoria

Un nombre pot resumir moltes dades, però no tots els resums diuen el mateix. Aquesta unitat ensenya a calcular les mesures bàsiques i, sobretot, a triar la que respon la pregunta i a desconfiar de les que enganyen. Treballa amb conjunts petits, ordenats, i comprova sempre que el resultat té sentit: una mitjana mai pot ser més gran que el valor màxim ni més petita que el mínim.

Mitjana aritmètica simple

La mitjana és la suma de totes les dades dividida pel nombre de dades. Les notes $6$, $7$, $8$, $9$ tenen mitjana $\dfrac{6+7+8+9}{4}=7{,}5$. Representa el valor que tindrien totes les dades si es repartissin per igual.

Comprovació: la mitjana és entre el mínim i el màxim.

Mitjana ponderada

Quan cada dada té un pes diferent, es multiplica cada valor pel seu pes i se sumen els productes. Notes $6$, $7$ i $8$ amb pesos $20\,\%$, $30\,\%$ i $50\,\%$: $6\cdot0{,}20+7\cdot0{,}30+8\cdot0{,}50=1{,}2+2{,}1+4=7{,}3$. Si els pesos no sumen $100\,\%$, cal normalitzar: dividir per la suma dels pesos.

Comprovació: la mitjana ponderada és més a prop del valor amb més pes.

Mediana i ordenació de dades

La mediana és el valor central de les dades ordenades. Amb $5$ dades, és la tercera; amb un nombre parell, és la mitjana dels dos centrals. Dades $12, 7, 20, 3, 15, 9$: ordenades, $3, 7, 9, 12, 15, 20$; la mediana és $\dfrac{9+12}{2}=10{,}5$. Si no s’ordenen, es pot agafar el valor del mig de la llista original, que és un altre nombre.

Comprovació: la meitat de les dades queden per sota de la mediana i l’altra meitat per sobre.

Moda i valors més freqüents

La moda és el valor (o la categoria) que més es repeteix. En $2, 3, 3, 5, 5, 5, 8$ la moda és $5$. No és el màxim ($8$) ni el valor del mig. En una variable qualitativa, la moda és la categoria («bus»), no la seva freqüència. Pot haver-hi més d’una moda o cap.

Comprovació: compta les repeticions, no el valor.

Rang, diferència i variacions entre períodes

El rang és la diferència entre el màxim i el mínim: $20-3=17$. Mostra com de dispersades són les dades. Una variació entre períodes compara dos valors: de $240$ a $330$, la diferència és $90$ i la variació percentual és $\dfrac{90}{240}=37{,}5\,\%$ respecte del valor inicial.

Comprovació: el rang d’un conjunt amb totes les dades iguals és $0$.

Obtenció d’un valor desconegut a partir d’una mitjana

Si coneixes la mitjana i $n-1$ dades, la suma total és mitjana per $n$. Si la mitjana de $5$ nombres és $14$ i quatre són $10$, $12$, $18$ i $16$ (suma $56$), el cinquè és $5\cdot14-56=14$. Amb pesos, s’aïlla la incògnita: si $0{,}6x+0{,}4\cdot6=7{,}2$, $x=8$.

Comprovació: recalcula la mitjana amb el valor trobat.

Elecció de l’indicador adequat segons la situació

La mitjana és útil quan les dades són simètriques; la mediana, quan hi ha valors extrems o la distribució és asimètrica (salaris, preus d’habitatge); la moda, per a categories o per al valor més comú (la talla més venuda). El rang informa de la dispersió. Pregunta’t què vol saber qui llegeix el resum.

Comprovació: si un valor extrem canvia molt un indicador, aquest indicador és sensible als atípics.

Interpretació de dades atípiques i de mitjanes que poden induir a error

Amb $900, 950, 1000, 1050, 5000$, la mitjana és $\dfrac{8\,900}{5}=1\,780$ i la mediana és $1\,000$. Dir «el salari típic és de $1\,780$ €» enganya, perquè quatre de cinc cobren menys. Un valor atípic mou la mitjana però no la mediana.

Comprovació: compara mitjana i mediana: si són molt diferents, hi ha asimetria o atípics.

Justificació d’afirmacions estadístiques vertaderes o falses

Per justificar una afirmació, calcula o cerca un contraexemple. «Si la mitjana d’un grup és $7$, la meitat del grup té més de $7$» és falsa: amb $2, 8, 8, 8, 9$ la mitjana és $7$ i quatre de cinc superen el $7$. En canvi, «almenys una persona té una nota igual o superior a la mitjana» és sempre certa.

Comprovació: un sol contraexemple basta per refutar una afirmació general.