1.5 Raons, proporcions i repartiments

Teoria

Les proporcions són l’eina més útil de l’examen: receptes, canvis de divisa, tarifes, barreges i escales. A les convocatòries 2025 i 2026 hi ha problemes de raó, de barreges i de canvi de moneda. La clau és decidir si la relació és proporcional abans de calcular i, després, justificar el procés.

Raó entre dues quantitats i comparació de raons

Una raó compara dues quantitats i s’escriu $a:b$ o $\dfrac{a}{b}$. Si en una classe hi ha $12$ nois i $18$ noies, la raó és $12:18=2:3$ (es simplifica com una fracció). Per comparar raons, es redueixen a un denominador comú: $\dfrac25$ i $\dfrac37$ són $\dfrac{14}{35}$ i $\dfrac{15}{35}$, per tant $\dfrac37$ és major.

Comprovació: l’ordre importa. $2:3$ no és el mateix que $3:2$.

Proporcionalitat directa i valor unitari

Dues magnituds són directament proporcionals si, en multiplicar una per un nombre, l’altra es multiplica pel mateix. El quocient és constant: és el valor unitari.

Aquí $\dfrac{2{,}50}{1}=\dfrac{5}{2}=\dfrac{7{,}5}{3}=2{,}5$ €/kg. La gràfica d’una proporcionalitat és una recta que passa per l’origen.

Comprovació: si per 0 unitats el cost no és 0 (hi ha una quota fixa), no és proporcional.

Regla de tres entesa com a relació

Una regla de tres és un cas de proporcionalitat. Primer, comprova que és proporcional. Després, fes servir el factor entre magnituds o el valor unitari. Si $4$ persones necessiten $300$ g de pasta, per a $6$ persones:

O pel valor unitari: $300:4=75$ g per persona i $75\cdot6=450$ g. Comprovació: 6 persones són més que 4, per tant cal més pasta.

Proporcionalitat inversa en situacions senzilles

En la proporcionalitat inversa, quan una magnitud es multiplica per $k$, l’altra es divideix per $k$, i el producte és constant. Si $6$ persones triguen $8$ h a fer una feina, la feina val $6\cdot8=48$ hores-persona; amb $4$ persones, trigaran $48:4=12$ h.

Comprovació: amb menys persones cal més temps. Si el resultat va en el sentit contrari, la relació s’ha invertit.

Repartiments proporcionals

Per repartir una quantitat en raó $a:b$, se sumen les parts, es calcula el valor d’una part i es multiplica. Per repartir $150$ € en raó $2:3$: $2+3=5$ parts, $150:5=30$ € per part, i els imports són $2\cdot30=60$ € i $3\cdot30=90$ €.

Comprovació: $60+90=150$.

Escales de receptes, barreges, mescles i concentracions

Una barreja en raó $1:9$ (concentrat:aigua) té $1+9=10$ parts. Per a $5$ L de barreja, cada part val $5:10=0{,}5$ L, per tant calen $0{,}5$ L de concentrat i $4{,}5$ L d’aigua.

Comprovació: $0{,}5+4{,}5=5$ L. Error freqüent: pensar que «1:9» són 9 L d’aigua per cada litre de barreja, i no per cada litre de concentrat.

Canvi de divises i equivalències de preus

Un canvi és una proporcionalitat. Amb un canvi simulat de $1$ € $=9$ corones: $25$ € són $25\cdot9=225$ corones, i $450$ corones són $450:9=50$ €. Per passar a l’altra moneda, es divideix en comptes de multiplicar.

Comprovació: a la moneda amb valor menor, el nombre obtingut és més gran.

Comparació de tarifes segons consum, quantitat o trajecte

Per comparar ofertes, es calcula el preu per unitat:

La B és més barata, encara que el preu total sigui més alt. Si una tarifa té una quota fixa (per exemple, una baixada de bandera i un preu per km), no és proporcional.

Proporcions geomètriques i aplicacions quotidianes

Una escala és una raó entre la mida al dibuix i la mida real. A l’escala $1:25\,000$, $1$ cm del mapa són $25\,000$ cm reals. Per a $4$ cm: $4\cdot25\,000=100\,000$ cm $=1\,000$ m $=1$ km.

Comprovació: passa les unitats amb cura ($100\,000$ cm són $1\,000$ m).