1.1 Nombres i operacions bàsiques

Teoria

Calcular bé vol dir entendre què representa cada xifra, quin signe porta i en quin ordre s’operen les coses. Tot el que segueix es fa sense calculadora; a cada pas, comprova que el resultat té un ordre de magnitud raonable.

Sistema decimal i valor posicional

El valor d’una xifra depèn de la posició que ocupa: cada posició val deu vegades la de la seva dreta. En $2\,908\,347$, el 9 és a les centenes de miler i val $900\,000$.

Comprovació: el 0 de les desenes de miler no aporta res, però cal escriure’l perquè la resta de xifres quedin al lloc correcte.

Nombres naturals i enters; la recta numèrica

Els naturals són $0, 1, 2, 3\ldots$ Els enters hi afegeixen els negatius: $\ldots -2, -1, 0, 1, 2\ldots$ A la recta, els positius són a la dreta del zero i els negatius a l’esquerra; com més a la dreta, més gran és el nombre.

Comprovació: $-5 < -2$, perquè el −5 és més a l’esquerra. Error freqüent: creure que $-5 > -2$ perquè $5 > 2$.

Ordenació, comparació, distància i valor absolut

El valor absolut d’un nombre és la seva distància al zero: $\lvert -7\rvert = 7$. De dos negatius, és més gran el que té menys valor absolut. La distància entre $a$ i $b$ és $\lvert a-b\rvert$.

Exemple: la distància entre $-4$ i $3$ és $\lvert -4-3\rvert = 7$. Comprovació a la recta: de −4 a 0 hi ha 4 unitats i de 0 a 3 n’hi ha 3, que sumen 7.

Sumes, restes, multiplicacions i divisions

Restar un nombre negatiu és sumar-lo: $3-(-8)=3+8=11$. En multiplicar o dividir, signes iguals donen positiu i signes diferents donen negatiu: $(-6)\cdot 7=-42$, $(-5)\cdot(-4)=20$, $(-36):(-9)=4$.

Per a nombres grans, descompon: $38\cdot 14 = 38\cdot 10 + 38\cdot 4 = 380+152 = 532$. Divisió: $756 : 12$. Com que $12\cdot 60 = 720$ i en queden $36 = 12\cdot 3$, el quocient és $63$.

Comprovació: $40\cdot 14 = 560$, a prop de 532, així que és versemblant.

Jerarquia d’operacions i parèntesis

L’ordre és sempre el mateix: 1) parèntesis, de dins cap a fora; 2) potències i arrels; 3) productes i divisions, d’esquerra a dreta; 4) sumes i restes, d’esquerra a dreta.

Un signe menys davant d’un parèntesi canvia tots els signes de dins: $-(3-5)=-3+5=2$.

Càlcul mental, estimació, arrodoniments i aproximacions

Tres trucs de càlcul mental: descompondre ($47\cdot 6 = 40\cdot 6 + 7\cdot 6 = 282$), compensar ($99+48 = 100+48-1 = 147$) i arrodonir. Per arrodonir, mira la xifra següent: si és 5 o més, puja; si no, es queda.

Per estimar un producte, arrodoneix cada factor: $398\cdot 21 \approx 400\cdot 20 = 8\,000$. El resultat exacte, $8\,358$, hi és a prop. Si no hi hagués estat, hauríem sospitat d’un error.

Operacions amb temperatures negatives, saldos i diferències

Els negatius representen temperatures sota zero o saldos en descobert. Una variació sempre és valor final menys valor inicial, i porta signe: positiu si augmenta, negatiu si disminueix.

Exemple: un saldo passa de $40$ € a $-15$ €. La variació és $-15-40=-55$ €: ha baixat 55 €. Escriu sempre la unitat (°C, €, m…) i comprova que té sentit.

Potències senzilles, quadrats, cubs i arrels quadrades exactes

$a^2=a\cdot a$ i $a^3=a\cdot a\cdot a$. Convé saber de memòria els quadrats fins a $12^2=144$ i els cubs $1, 8, 27, 64, 125$. L’arrel quadrada exacta desfà el quadrat: $\sqrt{49}=7$, perquè $7^2=49$.

Excepció freqüent: $(-3)^2=9$, però $-3^2=-9$, perquè la potència es fa abans que el signe.

Interpretació de nombres grans i ordres de magnitud

$3\,450\,000$ es llegeix «tres milions quatre-cents cinquanta mil». L’ordre de magnitud és la potència de 10 més propera: $48\,000\approx 5\cdot 10^4$, per tant és de l’ordre de $10^4$. Així es comparen quantitats enormes: $2\,000\,000$ és unes cent vegades $20\,000$.

Comprovació: abans de donar un resultat gran per bo, pregunta’t si té el nombre de xifres que esperaves.