3.3 Figures tridimensionals, superfícies i volums

Teoria

Els cossos tridimensionals apareixen a la CLOM en forma d’envasos, caixes, dipòsits i construccions amb cubs. Tres preguntes en separen els problemes: quin cos és, vull la superfície o el volum, i en quines unitats? Un problema de pintura demana superfície (m²); un d’ompliment, volum (m³ o litres). Si no distingeixes aquestes dues magnituds, qualsevol càlcul pot sortir bé numèricament i malament conceptualment.

Cossos geomètrics: cubs, prismes, cilindres i piràmides

Un prisma té dues bases iguals i paral·leles i cares laterals que són rectangles o paral·lelograms; el cub és un prisma de sis cares quadrades. Un cilindre té dues bases circulars i una superfície lateral corba. Una piràmide té una base poligonal i cares laterals triangulars que es troben en un vèrtex.

Comprovació: pensa quantes bases té el cos: dues (prisma, cilindre) o una (piràmide).

Cares, arestes, vèrtexs i desenvolupaments plans

Una cara és un polígon plà, una aresta és on es troben dues cares i un vèrtex és on es troben les arestes. En un políedre convex es compleix $C+V=A+2$ (relació d’Euler). Un cub té $6+8=12+2$ ✓; un prisma de base triangular té $5$ cares, $6$ vèrtexs i $9$ arestes; una piràmide de base quadrada, $5$ cares, $5$ vèrtexs i $8$ arestes.

Un desenvolupament és el cos estès sobre un pla: el d’una caixa té sis rectangles. El d’un cilindre té dos cercles i un rectangle que fa $2\pi r$ d’ample (la longitud de la circumferència) i $h$ d’alt.

Comprovació: el desenvolupament ha de tenir tantes cares com el cos.

Vistes i representació de construccions de cubs

Una construcció de cubs es pot descriure amb una vista superior que indica quants cubs hi ha apilats a cada casella. El nombre total de cubs és la suma dels números. A partir d’una vista superior se’n poden deduir també les vistes frontal i lateral: cada columna mostra l’alçada màxima que s’hi veu.

Comprovació: suma les caselles de la vista i compara-ho amb el recompte per capes.

Volum de cubs, prismes rectangulars i cilindres

El volum es pot construir com un apilament de capes: una capa de $4\times3$ cubs d’$1$ cm³ té $12$ cubs, i amb $2$ capes són $24$ cm³. En general, el volum d’un prisma o d’un cilindre és $V=A_{base}\cdot h$. Un prisma rectangular és $V=a\cdot b\cdot c$; un cub d’aresta $a$ és $V=a^3$; un cilindre és $V=\pi r^2h$.

Comprovació: el volum té unitats cúbiques (cm³); si el resultat surt en cm o cm², hi ha un error.

Volum de figures compostes i de capses sense tapa

Una figura composta es resol per addició o per resta: un cub de $6$ cm foradat de banda a banda amb un prisma de $2\times2\times6$ cm té volum $216-24=192$ cm³. En una capsa sense tapa el volum no canvia, però la superfície sí: hi falta una base.

Comprovació: el volum buit s’ha de restar del volum total, i no s’ha de sumar.

Superfície exterior de prismes i cilindres

La superfície és la suma de les àrees de totes les cares. Per a un prisma rectangular $a\times b\times c$: $S=2(ab+ac+bc)$. Per a un cilindre: $S=2\pi r^2+2\pi r h$ (dues bases més la superfície lateral, que és el rectangle del desenvolupament).

Comprovació: una caixa té sis cares, agrupades en tres parelles d’iguals.

Superfícies visibles i ocultes en cubs units

Quan es posen cubs junts, les cares en contacte deixen de ser exteriors. Per comptar la superfície exterior d’una barra de $3$ cubs d’$1$ cm: $3\cdot6=18$ cares, i les $2$ unions n’oculten $2\cdot2=4$, per tant $14$ cm². Si es pinta un cub de $3\times3\times3$ i es talla en $27$ cubets, hi ha $8$ cubets amb $3$ cares pintades (cantonades), $12$ amb $2$ (arestes), $6$ amb $1$ (centres de cara) i $1$ sense cap cara pintada.

Comprovació: $8+12+6+1=27$.

Relació entre volum, capacitat i alçada d’ompliment

La capacitat és el volum que cap dins d’un recipient. $1$ dm³ equival a $1$ L i $1$ cm³ a $1$ mL. Un dipòsit de $50\times40\times30$ cm té $60\,000$ cm³, és a dir $60$ L. Si s’hi aboquen litres, l’alçada de l’aigua és $h=\dfrac{\text{volum}}{\text{àrea de la base}}$.

Comprovació: passa tot a la mateixa unitat (dm o cm) abans de multiplicar.

Problemes d’envasos, embalatge, cartolina, pintura i materials

Un envàs demana tres càlculs: la capacitat (volum), el material (superfície) i la forma del desenvolupament. Per fer una capsa sense tapa de $20\times15\times10$ cm calen $20\cdot15=300$ cm² per a la base i $2(20\cdot10+15\cdot10)=700$ cm² per als laterals: $1\,000$ cm² de cartolina, sense comptar les pestanyes.

Comprovació: pregunta’t si el material és la superfície i si inclou totes les cares.

Distribució d’objectes dins d’una capsa i capacitat efectiva

Per saber quantes caixes de $20\times15\times10$ cm caben en un contenidor de $120\times60\times40$ cm, calcula quantes caben en cada direcció: $\dfrac{120}{20}=6$, $\dfrac{60}{15}=4$ i $\dfrac{40}{10}=4$, per tant $6\cdot4\cdot4=96$. La capacitat efectiva pot ser menor que el quocient dels volums si l’orientació no encaixa.

Comprovació: compara-ho amb el quocient de volums: $\dfrac{288\,000}{3\,000}=96$ coincideix perquè les mides encaixen exactament.