3.2 Perímetres, àrees i teorema de Pitàgores

Teoria

Perímetres i àrees es repeteixen a la CLOM perquè combinen càlcul, geometria i sentit de la mesura. La pregunta clau és sempre la mateixa: necessito el contorn o la superfície? Una tanca, un sòcol o una cinta demanen perímetre; un terra, una pintura o un camp de cultiu demanen àrea. Abans de calcular, fes un croquis amb les mides escrites i amb les unitats.

Diferència conceptual entre perímetre i àrea

El perímetre és la longitud del contorn i es mesura en unitats de longitud (m, cm). L’àrea és la superfície que ocupa la figura i es mesura en unitats quadrades (m², cm²). Dues figures poden tenir el mateix perímetre i àrees diferents: un rectangle de $8\times2$ (perímetre $20$, àrea $16$) i un de $5\times5$ (perímetre $20$, àrea $25$).

Comprovació: si el resultat és una longitud, la unitat és m; si és una superfície, m².

Perímetres de polígons i figures compostes

El perímetre és la suma dels costats. Per a un rectangle de costats $b$ i $h$, $P=2(b+h)$; per a un polígon regular de $n$ costats de longitud $l$, $P=n\cdot l$. En una figura composta només compten els costats del contorn exterior: els segments interiors on s’uneixen les peces no s’hi sumen.

Comprovació: recorre el contorn amb el dit i no te’n salta cap costat.

Àrees del quadrat, rectangle, triangle i paral·lelogram

Rectangle: $A=b\cdot h$ (el quadrat és el cas $l\cdot l$). Paral·lelogram: $A=b\cdot h$, amb $h$ l’alçada perpendicular a la base, no el costat inclinat. Triangle: $A=\dfrac{b\cdot h}{2}$, perquè dos triangles iguals formen un paral·lelogram. Un triangle de base $14$ i alçada $9$ té àrea $\dfrac{14\cdot9}{2}=63$.

Comprovació: l’alçada ha de formar un angle recte amb la base.

Àrea del trapezi i de polígons per descomposició

Trapezi: $A=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$, amb $B$ i $b$ les bases paral·leles. Per a $B=10$, $b=6$, $h=4$: $\dfrac{16\cdot4}{2}=32$. Qualsevol polígon es pot partir en triangles i rectangles; sumant-ne les àrees s’obté la de la figura.

Una altra manera de veure-ho: el trapezi ocupa el mateix que un rectangle amb la mateixa alçada i una base igual a la mitjana de les dues bases; per això es multiplica la semisuma de les bases per l’alçada. Si una de les bases fos zero, el trapezi seria un triangle i la fórmula tornaria a ser base per alçada entre dos. Aquest tipus de comprovació, quan una fórmula general es redueix a una altra que ja coneixes, és una bona manera de detectar-hi errors.

Comprovació: el trapezi és la mitjana de les bases per l’alçada.

Àrea del cercle i figures amb sectors simples (suport)

L’àrea d’un cercle és $A=\pi r^2$, amb $r$ el radi. Si et donen el diàmetre, primer calcula el radi: un cercle de diàmetre $10$ té $r=5$ i àrea $25\pi\approx78{,}5$. Un semicercle té la meitat de l’àrea, i un quart de cercle, la quarta part.

Comprovació: l’àrea d’un cercle és una mica més del triple de $r^2$.

Àrees ombrejades, complements i superposicions

Una zona ombrejada es calcula, sovint, per resta: àrea de la figura gran menys àrea de la part no ombrejada.

Quan dues peces se superposen, la zona comuna s’ha comptat dues vegades i s’ha de restar una: $A_{total}=A_1+A_2-A_{comuna}$.

Comprovació: la zona ombrejada no pot ser més gran que la figura total.

Relació entre dimensions, perímetre i superfície

Si totes les longituds es multipliquen per $k$, el perímetre es multiplica per $k$ i l’àrea per $k^2$. Un quadrat de costat $3$ té àrea $9$; amb costat $6$, l’àrea és $36$, quatre vegades més. Per això una tanca doble no tanca el doble de terreny.

Comprovació: duplicar els costats quadruplica l’àrea.

Perímetres i superfícies de figures en quadrícula

En una quadrícula, el perímetre es compta en unitats de costat de quadre i l’àrea en quadres. Una figura en L o en escala té el mateix perímetre que el rectangle que la conté, perquè els trams horitzontals i verticals que falten es compensen amb els entrants: només cal sumar tots els segments del contorn.

Comprovació: compta els quadres de dues maneres (per files i per columnes).

Teorema de Pitàgores en triangles rectangles senzills

En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa (el costat oposat a l’angle recte) és la suma dels quadrats dels catets: $a^2+b^2=c^2$. Amb catets $3$ i $4$: $9+16=25$, per tant $c=5$. Amb hipotenusa $13$ i un catet $5$: $b^2=169-25=144$ i $b=12$.

Comprovació: la hipotenusa és sempre el costat més llarg.

Àrea màxima o mínima amb condicions de perímetre

Entre els rectangles de perímetre $20$ amb costats enters, l’àrea és $1\times9=9$, $2\times8=16$, $3\times7=21$, $4\times6=24$ i $5\times5=25$. L’àrea màxima s’assoleix amb el quadrat. Amb perímetre fix, quan una figura s’acosta més al quadrat, la seva àrea creix.

Comprovació: prova alguns valors en una taula abans de decidir.