1.2 Fraccions i nombres decimals

Teoria

Les fraccions i els decimals són dues maneres d’escriure parts d’un total. Saber triar la representació que convé a cada situació, i operar sense calculadora, és el que et farà guanyar temps i seguretat. A cada pas, comprova que el resultat és lògic.

Fracció com a part d’un tot, quocient, raó i operador

La fracció $\dfrac{a}{b}$ divideix un total en $b$ parts iguals i en pren $a$. El denominador no pot ser zero. Té quatre lectures:

• Part d’un tot: $\dfrac34$ d’una pizza.
• Quocient: $\dfrac34=3:4=0{,}75$.
• Raó: 3 de cada 4 persones (compara dues quantitats).
• Operador: els $\dfrac34$ de $20$ són $15$.

Fraccions equivalents i simplificació

Multiplicar o dividir numerador i denominador pel mateix nombre dona una fracció equivalent: $\dfrac25=\dfrac{6}{15}$ (multiplicant per 3). Per simplificar, es divideix pels factors comuns fins que ja no se’n puguin treure més, i s’arriba a la fracció irreductible:

Comprovació amb el producte creuat: $\dfrac25=\dfrac{6}{15}$ perquè $2\cdot 15=5\cdot 6$.

Comparació i ordenació de fraccions i decimals

Amb el mateix denominador, és més gran la de numerador més gran. Amb denominadors diferents, es redueixen a un denominador comú o es converteixen a decimals. Exemple: $\dfrac34$ i $\dfrac57$ es comparen amb el producte creuat, $3\cdot 7=21$ i $5\cdot 4=20$, per tant $\dfrac34>\dfrac57$.

Amb decimals, compara xifra a xifra, igualant les posicions: $0{,}30>0{,}25$, encara que $25>3$. Error freqüent: pensar que $0{,}25>0{,}3$ perquè 25 és més gran que 3.

Ordenació: $\dfrac12$, $0{,}4$ i $\dfrac35$ són $0{,}5$, $0{,}4$ i $0{,}6$, i per tant $0{,}4<\dfrac12<\dfrac35$.

Conversió entre fraccions, decimals i percentatges

De fracció a decimal, es divideix: $\dfrac78=7:8=0{,}875$. De decimal a percentatge, es multiplica per 100: $0{,}875\to 87{,}5\,\%$. De decimal a fracció, es posa sobre la potència de 10 i se simplifica: $0{,}35=\dfrac{35}{100}=\dfrac{7}{20}$.

Operacions amb fraccions: suma, resta, producte i divisió

• Suma i resta: cal un denominador comú, i només se sumen o resten els numeradors. $\dfrac12+\dfrac13=\dfrac36+\dfrac26=\dfrac56$.
• Producte: numeradors per numeradors i denominadors per denominadors. $\dfrac25\cdot\dfrac34=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$.
• Divisió: es multiplica per la inversa. $\dfrac34:\dfrac98=\dfrac34\cdot\dfrac89=\dfrac{24}{36}=\dfrac23$.

Error freqüent: sumar numeradors i denominadors, com $\dfrac12+\dfrac13=\dfrac25$. Comprovació: $\dfrac25$ és menor que $\dfrac12$, i una suma no pot fer disminuir un sumand.

Càlcul de fraccions d’una quantitat i de la quantitat total

Per calcular una fracció d’una quantitat, es divideix la quantitat pel denominador i es multiplica pel numerador: els $\dfrac34$ de $60$ € són $60:4=15$ i $15\cdot 3=45$ €.

Per trobar el total quan en coneixem una part, es fa el camí invers. Si els $\dfrac27$ del total són $18$, aleshores $\dfrac17$ és $18:2=9$ i el total és $9\cdot 7=63$.

Comprovació: una fracció menor que 1 d’una quantitat és sempre més petita que aquesta quantitat.

Representació de fraccions en figures i a la recta numèrica

En una figura, divideix el total en parts iguals i acoloreix-ne el nombre que indica el numerador. A la recta, divideix el tram entre 0 i 1 en tantes parts iguals com marca el denominador i comptes el numerador des del zero. Les fraccions més grans que 1 passen d’1: $\dfrac74=1\dfrac34$ és entre 1 i 2.

Comprovació: les parts han de ser iguals. Una figura dividida en trossos desiguals no representa cap fracció.

Decimals finits i valors aproximats en contextos reals

Un decimal finit té un nombre limitat de xifres: $0{,}125=\dfrac{125}{1000}=\dfrac18$. Algunes divisions no acaben mai; en la vida real s’arrodoneixen segons la unitat. Si reparteixes $7$ € entre $3$ persones, $7:3=2{,}333\ldots$ i es paga $2{,}33$ € a cadascú (a les centèsimes, que són els cèntims).

Comprovació: l’error d’arrodoniment ha de ser molt petit comparat amb la unitat.