Divisibilitat i múltiples · PAP en Educació

Què aprendràs?

Distingir múltiples i divisors, i aplicar els criteris de divisibilitat habituals.
Reconèixer nombres primers i compostos i descompondre un nombre en factors primers.
Calcular el MCD i el MCM i decidir quin cal segons l’enunciat.
Aplicar la paritat i les successions de múltiples a situacions quotidianes.

Coneixements previs

Taules de multiplicar i divisions exactes (unitats 1.1 i 1.2).

Teoria

La divisibilitat apareix a l’examen quan hi ha repartiments iguals o coincidències periòdiques. Al model 2026 hi havia un problema d’alarmes que demanava a quina hora coincidien tres alarmes i quines sonaven en un moment donat, i al model 2025, uns viatges que es tornaven a coincidir al cap de cert nombre de dies. Totes dues situacions es resolen amb el MCM. Aquí aprendràs a decidir-ho i a justificar-ho.

Múltiples i divisors d’un nombre natural

Un nombre $b$ és múltiple de $a$ si $b=a\cdot k$ amb $k$ natural; llavors $a$ és divisor de $b$ , perquè $b:a$ dona una divisió exacta. Múltiples de $6$ : $6, 12, 18, 24\ldots$ Divisors de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ (per parelles: $1\cdot18$ , $2\cdot9$ , $3\cdot6$ ).

Comprovació: els divisors d’un nombre són menors o iguals que ell; els múltiples, majors o iguals.

Criteris de divisibilitat habituals

Per	Criteri	Exemple
2	Acaba en xifra parella	$3\,718$
3	La suma de xifres és múltiple de 3	$5\,172$ , perquè $5+1+7+2=15$
4	Les dues darreres xifres formen un múltiple de 4	$3\,724$ , perquè $24=4\cdot6$
5	Acaba en 0 o 5	$1\,240$
6	És divisible per 2 i per 3	$5\,172$
9	La suma de xifres és múltiple de 9	$2\,466$ , perquè $2+4+6+6=18$
10	Acaba en 0	$830$

Comprovació: $7\,452$ és divisible per 4 (acaba en 52) i per 9 ( $7+4+5+2=18$ ), per tant també ho és per 36.

Nombres primers i compostos

Un nombre és primer si només té dos divisors, l’1 i ell mateix; és compost si en té més de dos. L’1 no és ni primer ni compost, i el 2 és l’únic primer parell.

Graella del 1 al 50 amb els nombres primers acolorits: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 i 47 — Els 15 primers fins al 50.

Per comprovar si un nombre petit és primer, prova de dividir-lo per 2, 3, 5 i 7. Comprovació: $91=7\cdot13$ , així que no és primer, encara que ho sembli.

Descomposició en factors primers

Es divideix successivament pel menor primer possible fins arribar a 1. Per a $252$ : $252:2=126$ , $126:2=63$ , $63:3=21$ , $21:3=7$ , $7:7=1$ .

Arbre de factors de 252 amb els factors primers 2, 2, 3, 3 i 7 — 252 = 2² · 3² · 7.

252=2^2\cdot 3^2\cdot 7

Comprovació: $4\cdot9\cdot7=252$ .

Màxim comú divisor (MCD) en repartiments i agrupaments

El MCD és el divisor comú més gran. S’obté agafant els factors comuns amb l’exponent menor. Per a $18=2\cdot3^2$ i $30=2\cdot3\cdot5$ : $\text{MCD}=2\cdot3=6$ .

Es fa servir quan cal repartir o agrupar en parts iguals i com més gran millor: el nombre màxim de lots, el trosset més llarg. El resultat és sempre menor o igual que el nombre més petit.

Mínim comú múltiple (MCM) en coincidència de períodes i horaris

El MCM és el menor múltiple comú positiu. S’obté amb tots els factors, amb l’exponent més gran. Per a $10=2\cdot5$ , $15=3\cdot5$ i $25=5^2$ : $\text{MCM}=2\cdot3\cdot5^2=150$ .

Es fa servir quan alguna cosa es repeteix cada cert temps i volem saber quan coincideix. El resultat és sempre major o igual que el nombre més gran.

Pregunta de l’enunciat	Què cal
«Repartir en parts iguals», «el màxim de lots», «el trosset més llarg»	MCD
«Quan tornaran a coincidir», «cada cert temps», «a quina hora»	MCM

Paritat: parells i senars

Els parells acaben en 0, 2, 4, 6 o 8; els altres són senars. Regles: parell + parell = parell; senar + senar = parell; parell + senar = senar; parell · qualsevol = parell; senar · senar = senar.

Comprovació: $7+9=16$ és parell. Error freqüent: creure que la suma de dos senars és senar.

Nombres que pertanyen a una successió de múltiples

Els múltiples de $7$ són $7, 14, 21\ldots$ El que ocupa el lloc $n$ és $7n$ : el 12è és $84$ . Per saber si un nombre n’és, es divideix: $98:7=14$ , per tant $98$ n’és el 14è; $100:7$ no és exacte, així que no n’és.

Aplicació: si una activitat es repeteix cada 7 dies, cau sempre el mateix dia de la setmana.

Com es puntua a l'examen (model 2026)

Secció 1: resposta immediata, 1 punt o 0. Els criteris de divisibilitat et donen la resposta ràpida (per 2, 3, 5, 9…). Secció 2: cal explicar el procés. Una justificació correcta d’un problema de coincidències indica el tipus de problema, el MCM amb la descomposició en factors i la resposta en el context: «Coincideixen cada $\text{MCM}(12,20)=60$ s». També és vàlida una taula o una línia de temps que mostri la primera coincidència. Respon amb l’hora o la quantitat que demana l’enunciat, no només amb el nombre. Comprova els criteris de la convocatòria vigent.

Exemples resolts

Exemple 1 · Tres línies d'autobús coincideixen (MCM)

Tres línies d’autobús surten de la cotxera a les 7:00 i, després, cada 10, 15 i 25 minuts. A quina hora tornaran a sortir alhora?

Quin tipus de problema? «Cada cert temps» i «tornar a coincidir»: MCM.
Factors: $10=2\cdot5$ , $15=3\cdot5$ , $25=5^2$ .
MCM: $2\cdot3\cdot5^2=150$ minuts.
Hora: $150$ min són $2$ h $30$ min, així que coincidiran a les 9:30.
Comprovació: $150:10=15$ , $150:15=10$ i $150:25=6$ són divisions exactes, i cap valor menor ho compleix (ho mostra la figura).

Línia de temps amb els passos de tres autobusos cada 10, 15 i 25 minuts que coincideixen als 150 minuts — Les tres línies només coincideixen als 150 minuts.

Error freqüent

Error habitual: calcular el MCD ( $5$ ). Això donaria «cada 5 minuts», que és menys que qualsevol dels períodes: en una coincidència sempre cal un valor més gran.

Exemple 2 · Lots iguals de llibres i quaderns (MCD)

Hi ha $18$ llibres i $30$ quaderns. Es volen fer lots iguals, amb el màxim de lots i sense que sobri res. Quants lots es poden fer i què porta cada un?

Quin tipus de problema? «Lots iguals» i «el màxim»: MCD.
Factors: $18=2\cdot3^2$ i $30=2\cdot3\cdot5$ ; comuns: $2$ i $3$ .
MCD: $2\cdot3=6$ lots.
Contingut de cada lot: $18:6=3$ llibres i $30:6=5$ quaderns.
Comprovació: $6\cdot3=18$ i $6\cdot5=30$ .

Sis caixes iguals amb 3 llibres i 5 quaderns cada una — MCD(18, 30) = 6 lots.

Error freqüent

Error habitual: calcular el MCM ( $90$ ). No pot haver-hi 90 lots, perquè només hi ha 18 llibres.

Exemple 3 · Factoritzar i comprovar una divisibilitat

Descompon $180$ en factors primers i digues si és divisible per $12$ .

Divisions: $180:2=90$ , $90:2=45$ , $45:3=15$ , $15:3=5$ , $5:5=1$ .
Factors: $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ .
Factors de 12: $12=2^2\cdot3$ .
Conclusió: $180$ conté $2^2$ i $3$ , per tant és divisible per $12$ . De fet, $180:12=15$ .
Comprovació amb criteris: $180$ és divisible per 4 (80) i per 3 ( $1+8+0=9$ ), així que ho és per 12.

Error freqüent

Error habitual: confondre factor i múltiple. $360$ és un múltiple de $180$ , no un divisor; els divisors de $180$ no passen de $180$ .

Practica

Respon cada exercici i prem Comprova: veuràs si és correcte i l'explicació. Marca amb «Marca per repassar» el que vulguis tornar a veure.

Exercici 1

Bàsic

Quin d’aquests nombres és divisible per $3$ ?

1\,072

2\,135

4\,218

5\,603

Exercici 2

Bàsic

Quina xifra ha de substituir l’asterisc perquè el nombre $54*$ sigui parell i divisible per 5?

La teva resposta

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Exercici 3

Mitjà

La suma de dos nombres senars és sempre un nombre senar.

VertaderFals

Exercici 4

Bàsic

Descompon $84$ en factors primers. Quin és el factor primer més gran?

La teva resposta

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Exercici 5

Mitjà

Quina és la descomposició de $180$ en factors primers?

2\cdot3^2\cdot10

2^2\cdot3^2\cdot5

2^3\cdot3\cdot5

Exercici 6

Mitjà

Quants divisors té el nombre $30$ ?

La teva resposta

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Exercici 7

Bàsic

Calcula el MCD de $24$ i $40$ .

La teva resposta

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Exercici 8

Mitjà

A la graella següent, els nombres amb vora gruixuda són múltiples de $4$ i els que tenen fons taronja són múltiples de $6$ .

Graella del 1 al 60. Els múltiples de 4 tenen vora gruixuda i els múltiples de 6 tenen fons taronja. Els que són múltiples de tots dos tenen vora i fons.

Quin és el primer nombre que té vora gruixuda i fons taronja alhora?

La teva resposta

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Exercici 9

Mitjà

Dos fars emeten un llampec: el primer cada $12$ s i el segon cada $20$ s. Si ara coincideixen, al cap de quants segons tornaran a coincidir?

La teva resposta (s)

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Exercici 10

Avançat

Una floristeria té $42$ roses i $70$ clavells. Vol fer rams iguals, sense que sobri cap flor i amb el màxim de rams possible. Quants rams pot fer?

La teva resposta (rams)

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Exercici 11

Avançat

Un museu té tres audioguies que emeten un avís cada $9$ , $12$ i $18$ minuts. A les $10{:}00$ sonen alhora. A quina hora tornaran a sonar alhora? Dona la resposta i justifica-la.

La teva resposta

0 paraules (mínim orientatiu: 25)

Exercici 12

Mitjà

L’Alba va a natació cada $4$ dies i en Pol cada $6$ dies. Avui hi han coincidit. Tornaran a coincidir d’aquí a $18$ dies.

VertaderFals

Autoavaluació

Respon totes les preguntes i prem Corregeix: obtindràs una nota orientativa i els apartats que convé repassar. No bloqueja cap contingut.

Sense calculadora. En les preguntes obertes, escriu els passos: s’hi valora el procés.

Pregunta 1

1 punt

Calcula el MCM de $8$ i $10$ .

La teva resposta

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Pregunta 2

1 punt

Calcula el MCD de $36$ i $60$ .

La teva resposta

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Pregunta 3

1 punt

Quants nombres primers hi ha entre $20$ i $40$ ?

La teva resposta

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Pregunta 4

1 punt

Quin és el 9è múltiple de $7$ ?

La teva resposta

Pots escriure decimals amb coma o punt, o una fracció (p. ex. 3/4).

Pregunta 5

1 punt

El nombre $7\,245$ és divisible per $9$ ? Respon «sí» o «no».

La teva resposta

Pregunta 6

2 punts

Una persona pren el medicament A cada $8$ hores i el B cada $12$ hores. Els ha pres tots dos a les $8{:}00$ . (a) A quina hora tornarà a prendre’ls alhora? (b) A les $20{:}00$ , quin medicament li toca? Justifica les respostes.

La teva resposta

0 paraules (mínim orientatiu: 25)

Pregunta 7

2 punts

En una excursió hi ha $48$ nens i $36$ nenes. Es volen formar equips iguals, amb el màxim d’equips i tots amb el mateix nombre de nens i de nenes. Quants equips es poden fer i què té cada equip? Mostra els passos.

La teva resposta

0 paraules (mínim orientatiu: 20)

Pregunta 8

2 punts

Es tenen dues barres de fusta, una de $90$ cm i una altra de $120$ cm, i es volen tallar en trossos iguals tan llargs com sigui possible, sense deixar cap sobrant. Decideix si cal el MCD o el MCM, calcula’l i explica per què.

La teva resposta

0 paraules (mínim orientatiu: 20)

Resum

Conceptes essencials

Un divisor divideix de manera exacta; un múltiple és el resultat de multiplicar. Els divisors són petits i els múltiples, grans.
Criteris. 2 (acaba en xifra parella), 3 i 9 (suma de xifres), 5 (acaba en 0 o 5), 6 (2 i 3).
Un primer només té dos divisors; l’1 no és primer.
Factoritza dividint pels primers petits i comprova multiplicant.
MCD: factors comuns amb l’exponent menor. MCM: tots els factors amb l’exponent major.
Repartir o agrupar en parts iguals és MCD; coincidir cada cert temps és MCM.
Mini-exemple. Avisos cada 6 i 8 min. $6=2\cdot3$ , $8=2^3$ , MCM $=2^3\cdot3=24$ min.
Ja sé…? Aplicar un criteri de divisibilitat.
Ja sé…? Descompondre un nombre en factors primers.
Ja sé…? Decidir si un problema demana MCD o MCM.

Errors freqüents

Escollir el MCD en un problema de coincidència.
Confondre factor i múltiple.
Pensar que l’1 és un nombre primer.