4.3 Probabilitat i recompte de possibilitats

Teoria

La probabilitat mesura com de possible és un esdeveniment. A la CLOM no es demana fórmula avançada: es demana comptar bé els casos possibles i els favorables, escollir si el total s’actualitza o no, i explicar per què una afirmació sobre l’atzar és certa o falsa. La clau és dibuixar: una taula, un arbre o un esquema evita la majoria d’errors.

Experiments aleatoris i espai mostral

Un experiment aleatori és un que no es pot predir amb certesa: llançar un dau, treure una bola d’una bossa. L’espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles: per a un dau, $\{1,2,3,4,5,6\}$; per a dues monedes, $\{CC, CX, XC, XX\}$. Cada esdeveniment és un subconjunt de l’espai mostral.

Comprovació: l’espai mostral ha d’incloure tots els resultats, sense repetir-ne cap.

Esdeveniments possibles, impossibles i segurs

Un esdeveniment és segur si ocorre sempre (treure un nombre de l’$1$ al $6$ en un dau) i impossible si no pot ocórrer mai (treure un $7$). Entre els dos hi ha els possibles. La probabilitat d’un esdeveniment segur és $1$ i la d’un d’impossible, $0$.

Comprovació: una probabilitat sempre és entre $0$ i $1$ (o $0\,\%$ i $100\,\%$).

Probabilitat com a casos favorables entre casos possibles

Si tots els resultats són equiprobables, $P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos possibles}}$. En una bossa amb $3$ boles vermelles i $2$ de blaves, $P(\text{vermella})=\dfrac35$. Amb un dau, $P(\text{múltiple de }3)=\dfrac{2}{6}=\dfrac13$.

Comprovació: tots els casos han de tenir la mateixa possibilitat.

Probabilitat expressada com a fracció, decimal o percentatge

$\dfrac35=0{,}6=60\,\%$. Es pot escollir la forma més còmoda, però no s’han de barrejar sense convertir. Una probabilitat de $0{,}25$ és la mateixa que $\dfrac14$ i que $25\,\%$.

Comprovació: la forma que escullis ha de ser entre $0$ i $1$ (o entre $0\,\%$ i $100\,\%$).

Probabilitats de boles, caramels, daus, ruletes i jocs

Per a una ruleta dividida en $8$ sectors iguals, amb $2$ de verds, $P(\text{verd})=\dfrac28=\dfrac14$. Si els sectors no són iguals, els casos no són equiprobables i cal calcular la fracció de l’àrea. Una urna o una ruleta només s’ha de tractar com a casos iguals si és explícit.

Comprovació: pregunta’t si cada sector o bola té la mateixa possibilitat.

Comparació de probabilitats de grups amb totals diferents

Per comparar urnes amb totals diferents, compara proporcions. L’urna A té $3$ vermelles de $8$ ($0{,}375$) i la B en té $4$ de $10$ ($0{,}4$): és més probable treure vermella de la B, tot i que té més boles.

Comprovació: la probabilitat no depèn del nombre total de casos, sinó de la proporció.

Probabilitat complementària i esdeveniments compostos senzills

El complement d’un esdeveniment $A$ és «no $A$»: $P(\text{no }A)=1-P(A)$. Si la probabilitat de pluja és $0{,}35$, la de no-pluja és $0{,}65$. Per a successos consecutius independents, es multipliquen les probabilitats: amb reposició, $P(\text{dues blaves})=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{6}{10}=0{,}36$ en una bossa de $4$ vermelles i $6$ blaves. «Almenys un» es calcula millor pel complement: en dos daus, $P(\text{almenys un }6)=1-\dfrac56\cdot\dfrac56=\dfrac{11}{36}$.

Comprovació: la probabilitat d’un esdeveniment i la del seu complement sumen $1$.

Extraccions sense reemplaçament i actualització de casos possibles

Quan s’extreu sense reposició, la bossa canvia: el total disminueix en $1$ a cada extracció i el nombre de favorables també, si la que s’ha tret era favorable. Amb $3$ vermelles i $2$ blaves, $P(\text{dues vermelles})=\dfrac35\cdot\dfrac24=\dfrac3{10}$; el segon factor és $\dfrac24$ perquè queden $2$ vermelles de $4$ boles.

Comprovació: les probabilitats de totes les branques finals sumen $1$.

Freqüència observada versus probabilitat teòrica

La probabilitat teòrica és el que s’espera; la freqüència observada és el que passa en una prova concreta. Si llances una moneda $20$ cops i surten $14$ cares ($70\,\%$), no vol dir que estigui trucada: la freqüència pot allunyar-se del $50\,\%$ amb poques repeticions, i s’hi acosta amb moltes.

Comprovació: una prova curta pot donar resultats molt allunyats de la teoria.

Recompte de combinacions amb taules, diagrames d’arbre o productes

Per comptar resultats compostos, es multiplica: si hi ha $3$ primers, $4$ segons i $2$ postres, els menús possibles són $3\cdot4\cdot2=24$. Per a dos daus, la taula de $6\times6$ dona $36$ casos, i la suma $7$ apareix $6$ cops.

Comprovació: un arbre o una taula ha de tenir tantes branques o caselles com el producte indica.

Decisions i afirmacions sobre l’atzar amb justificació

Cada llançament d’una moneda és independent: encara que hagi sortit cara cinc cops seguits, la probabilitat de cara al sisè continua sent $\dfrac12$. L’atzar no té memòria ni «compensa». Una afirmació com «ara toca creu» és falsa. Per justificar, cita la independència o fes el càlcul.

Comprovació: pregunta’t si els esdeveniments depenen un de l’altre.