3.5 Magnituds, unitats i càlcul pràctic

Teoria

La competència matemàtica inclou saber què mesura cada nombre. Una resposta correcta amb una unitat equivocada no val, i un resultat que no és plausible físicament (una persona de $400$ kg, un cotxe a $900$ km/h) denota un error de procés. Aquesta unitat reuneix les conversions i les relacions taxa–temps que es fan servir en gairebé qualsevol problema pràctic. L’eina principal és el raonament dimensional: abans de calcular, pregunta’t en quina unitat ha de sortir la resposta.

Longitud: mm, cm, dm, m i km

Cada salt entre unitats consecutives (mm, cm, dm, m, dam, hm, km) és un factor $10$. Per passar $3{,}2$ m a cm, $\times100$ (dos salts): $320$ cm. Per passar $2\,500$ m a km, $:1\,000$: $2{,}5$ km. Per sumar longituds de diferents unitats, primer s’han de passar a la mateixa.

Comprovació: $1$ km són $1\,000$ m; $1$ m són $100$ cm.

Superfície: mm², cm², m² i km²

Per a àrees, cada salt entre unitats consecutives és un factor $100$, perquè hi ha dues dimensions: $1$ m² $=100\cdot100=10\,000$ cm². Per tant, $1{,}8$ m² són $18\,000$ cm². Convertir m² com si fos m (multiplicar per $100$) és l’error més freqüent.

Comprovació: una àrea en unitats més petites ha de donar un nombre molt més gran.

Volum: cm³, dm³, m³ i hm³

En volum, cada salt és un factor $1\,000$: $1$ m³ $=1\,000$ dm³ $=1\,000\,000$ cm³. Un volum de $4\,500\,000$ cm³ són $4{,}5$ m³. Les piscines, els dipòsits i els contenidors es mesuren en m³.

Comprovació: tres dimensions, tres vegades $100$ per cada m $\to$ cm: $100^3=1\,000\,000$.

Capacitat: mL, cL i L; relació L–dm³ i mL–cm³

La capacitat és el volum que cap en un recipient. Les equivalències clau són $1$ L $=1$ dm³ $=1\,000$ cm³ i $1$ mL $=1$ cm³. Per tant, $1$ m³ són $1\,000$ L. Una piscina de $36$ m³ conté $36\,000$ L.

Comprovació: una ampolla d’$1{,}5$ L conté $1\,500$ cm³ (o mL).

Massa: mg, g, kg i tones

$1$ kg $=1\,000$ g, $1$ g $=1\,000$ mg i $1$ t $=1\,000$ kg. Una tona és $1\,000\,000$ g. Per a aigua, $1$ L té una massa d’$1$ kg, de manera que un dipòsit d’$1$ m³ d’aigua pesa $1$ t.

Comprovació: els prefixos kilo- i mil·li- signifiquen mil i una mil·lèsima.

Temps: segons, minuts, hores, dies i setmanes

El temps es compta en base $60$ (minuts i segons) i $24$ (hores): $1$ h $=60$ min $=3\,600$ s; $1$ dia $=24$ h $=1\,440$ min; $1$ setmana $=7$ dies. Atenció: els minuts no són decimals. $1{,}75$ h són $1$ h $+0{,}75\cdot60=45$ min, és a dir $1$ h $45$ min. I $2{,}5$ h són $2$ h $30$ min, no $2$ h $50$ min.

Comprovació: $0{,}25$ h són $15$ min, i $0{,}1$ h són $6$ min.

Càlcul horari, durades, rellotge i fusos horaris

La durada és la diferència entre dues hores. De les $21{:}40$ a les $02{:}15$ del dia següent hi ha $2$ h $20$ min fins a mitjanit i $2$ h $15$ min més: $4$ h $35$ min. Per als fusos horaris, la hora local s’obté sumant o restant la diferència: si Barcelona és UTC$+1$ i Nova York, UTC$-5$, a Nova York són $6$ hores menys.

Comprovació: dibuixa una línia de temps amb les hores clau.

Velocitat mitjana, distància i temps; km/h i m/s

La velocitat mitjana és $v=\dfrac{d}{t}$, o $d=v\cdot t$ i $t=\dfrac{d}{v}$. Un cotxe que fa $150$ km en $1$ h $30$ min ($1{,}5$ h) va a $100$ km/h. Per passar de km/h a m/s, es divideix entre $3{,}6$ ($1$ km/h $=\dfrac{1000}{3600}$ m/s): $90$ km/h són $25$ m/s.

Comprovació: si el temps és en minuts, passa’l a hores abans d’usar km/h.

Interpretació de consums, cabals i rendiments per unitat de temps

Un cabal és un volum per unitat de temps (L/min); un consum, una quantitat per unitat de temps o de distància. La quantitat total és taxa per temps: una aixeta de $18$ L/min durant $25$ min dona $450$ L. Si hi ha dues fonts, les taxes se sumen: dues aixetes de $40$ L/min i $60$ L/min omplen o buiden a $100$ L/min.

Comprovació: la unitat final ha de ser la taxa multiplicada pel temps: (L/min)$\cdot$min $=$ L.

Unitats monetàries, canvi de moneda i costos per unitat

Un canvi és una proporcionalitat. Amb un canvi simulat d’$1$ € $=1{,}10$ dòlars fictius, $55$ dòlars són $55:1{,}10=50$ €. Per comparar productes, calcula el cost per unitat (€/kg, €/L).

Comprovació: si la moneda de destinació «val menys», surt un nombre més gran.

Magnituds i resultats: coherència dimensional i arrodoniment adequat

Un resultat ha de tenir unitats coherents i ordre de magnitud plausible: si tardes $40$ min a caminar $3$ km, no pots tenir $50$ km/h. L’arrodoniment depèn del context: si necessites $7{,}2$ autobusos, en calen $8$; si pagues en euros, dues xifres decimals.

Comprovació: pregunta’t si el resultat «pot ser veritat» al món real.